Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Навигация









Связь

mat:algebra:chain

Цепная линия. Катеноид

Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле.

Уравнение в декартовых координатах:

$$y = \frac{a}{2}\left( e^{x/a}+e^{-x/a}\right) = a \, \mathbb{ch} \frac{x}{a}$$

(ch - гиперболический косинус).

Цепная линия при различных значениях параметра:

Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.

Катеноид является единственной минимальной поверхностью среди поверхностей вращения.

Электропровода, свободно свисающие. Роса на паутине.

Арка

Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не изгиба.

Арка в Сент-Луисе (Gateway Arch), также известная под именем «Врата на запад» 

Она была спроектирована Ээро Саариненом в 1947 году. Её высота 192 метра в самой высокой точке, ширина основания также 192 метра. Таким образом арка является самым высоким памятником на территории США. Её строительство было закончено 28 октября 1965 года.

В районе вершины арки находится смотровая площадка, из которой открывается вид на Миссисипи. В ясный день видимость достигает 48 километров.

The Gateway Arch in St. Louis, Missouri, United States is sometimes said to be an (inverted) catenary, but this is incorrect. It is close to a more general curve called a flattened catenary, with equation $y = A \cosh(B x )$, which is a catenary if $A B = 1 $.

Конструкция арки не позволила применить обычные модели лифтов. Несколько лифтостроительных компаний пытались подобрать подходящий вариант, но не преуспели. Тогда Сааринен нанял инженера Ричарда Баузера. Ему дали всего две недели на разработку своего варианта, но он, как ни странно, успел.


Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что основная нагрузка распределена в пролёте моста, а не в тросах.

Сравнение цепной линии и параболы

Цепная линия - черный пунктир, красная - парабола.

см. график desmos

Свойства

Независимо от выбранного горизонтального интервала отношение площади под цепной линией к ее длине равно a.

Цепная линия - единственная плоская кривая (кроме горизонтальной линии) с этим свойством.

Центроид площади под графиком цепной линии - is the midpoint of the perpendicular segment connecting the centroid of the curve itself and the x-axis.

Сумма сил должна быть равна нулю.

Связь с другими кривыми

When a parabola is rolled along a straight line, the roulette curve traced by its focus is a catenary.

The envelope of the directrix of the parabola is also a catenary.

The involute from the vertex, that is the roulette formed traced by a point starting at the vertex when a line is rolled on a catenary, is the tractrix.

mat/algebra/chain.txt · Последние изменения: 2016/07/04 08:48 — kc